Category: Introduzione alla geometria differenziale: prima parte.

Introduzione alla geometria differenziale: prima parte.

Tutti noi sappiamo disegnare su un foglio di carta un punto o una linea retta. La corrispondenza biunivoca garantisce che ad un punto nel piano corrisponde una ed una sola coppia di coordinate x, ye viceversa. Se ora sul suddetto foglio di carta disegniamo due puntiunendoli e proseguendo, aiutandoci con un righello, da entrambe le parti in linea retta, otteniamo la retta passante per i due punti dati figura 2. Anche la retta, nel piano, viene univocamente individuata dalla sua equazione cartesiana.

Quindi i lati PH e AH devono essere tra loro perpendicolari. Inoltre, i due triangoli sono tra loro simili. Per il primo criterio di similitudine dei triangoli, quindi, i due triangoli in questione sono simili. Se sono similiposso allora scrivere la relazione:. Basta sostituire nella 1 le lunghezze dei lati che otteniamo dalla figura:. Tale punto ha coordinate 0, q. Il termine q si definisce intercetta. Cosa rappresenta, invece, il termine m? Lo avevamo definito come. Esso si definisce coefficiente angolare della retta.

Anche nello spazio possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti e terne di coordinate cartesiane. Con riferimento alla figura 4, il ragionamento fatto nel caso del piano, andrebbe ripetuto sul piano yOz e sul piano xOz.

Alla fine otterremmo due equazioni nelle tre variabili x, y e z, il cui sistema individua in modo univoco la retta nello spazio. In altre parole, nello spazio la retta va vista come intersezione di due piani. Per determinare l'equazione di una retta nello spazio, dobbiamo, pertanto, introdurre prima quella del piano.

Anche in questo caso, torna utile il concetto di luogo geometrico.Recensisci per primo questo prodotto. Scrivi una nuova recensione su Appunti di geometria differenziale. Parte I e condividi la tua opinione con altri utenti. Tesi di laurea Tesi di laurea Pubblica la tua tesi Guide per tesi e cv Come scrivere una tesi.

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Scegli il punto di consegna e ritira quando vuoi Scopri come. Appunti di geometria differenziale. Parte I di Stefano Marchiafava. Parte II. Nuova Cultura. Parte III. Parte III vol. Esercizi di geometria. Geometria 2. Percorso didattico 1. Lezioni di algebra e geometria. Geometria 1. Applied complex and quaternionic approximation. Recensioni degli utenti Scrivi una nuova recensione su Appunti di geometria differenziale. Prodotti correlati. Elementi di geometria differenziale. Con esercizi.

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Un' introduzione alla geometria riemanniana. Coniche, quadriche, elementi di geometria differenziale. Atti del Convegno Cattaneo Gasparini a cura di. Differential geometry and relativity theories vol. Curves and surfaces. Elementi di geometria analitica e analisi matematica. Appunti di matematica. Numeri reali, radicali, equazioni e disequazioni Precorso di matematica. Appunti ed esercizi.Rispetto al punto cui siamo arrivati con gli articoli precedenti ci mancano solo due passaggi.

Gli scopi di questa operazione possono essere diversi. Queste variazioni sono estremamente piccole, ma strumenti molto sensibili, come VIRGO o LIGO, sono in grado di rilevarle come variazioni della distanza che deve percorrere un raggio laser. La stessa definizione vale in Geometria Lorentziana.

Queste geodetiche non sono quindi realizzabili da oggetti fisici. Potreste aver sentito che la luce si propaga in linea retta, ma che la massa curva il suo percorso. Vi invito a seguire i link agli articoli di Wikipedia che ho lasciato per vedere delle bellissime foto di questi fenomeni. Lo spazio risulta diviso in due zone, e le geodetiche fisiche possono attraversarne il confine solo in un verso e non in quello opposto. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.

You can leave a responseor trackback from your own site. Ciononostante, a differenza del piano, nella sfera ci sono comunque punti distinti con infinite geodetiche minimali che li uniscono; pensiamo ai meridiani della Terra tra i due Poli.

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Verifica dell'e-mail non riuscita. Ci dispiace, il tuo blog non consente di condividere articoli tramite e-mail.Introduzione: le origini.

Studio della curvatura gaussiana. Dimensioni superiori. Gruppi e fibrati. Sviluppi recenti. Dati due punti P e Q di una curva piana sufficientemente vicini, si considerino le normali alla curva in P e in Q ; se il punto P rimane fisso mentre il punto Q si avvicina a Pil punto di intersezione delle due normali tende a un punto C che appartiene alla normale in P.

Le coniche sono curve la cui equazione si ottiene annullando un polinomio di secondo grado, e per questo sono dette curve algebriche del secondo ordine; il metodo delle coordinate ha reso possibile lo studio della geometria delle curve di ordine 3 e anche di ordine superiore.

Fermat, Descartes e Newton hanno contribuito alla determinazione delle curve generabili meccanicamente, come la cicloide, argomento trattato anche da Gilles Personne de Roberval e da Christian Huygens. Alla fine del XVII secolo sono stati fatti notevoli progressi su questi argomenti, soprattutto in seguito alla loro precisa formulazione, dovuta a Leibniz. Iniziamo con una serie di commenti di tipo matematico illustrando il significato della 1. La curva in neretto nella fig.

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La curva della fig. Il punto C della fig. L'ampio lavoro di Monge ha dato un notevole impulso a molti settori della geometria. Inoltre, rilevanti contributi alla teoria delle superfici si devono a Charles Dupin e a Olinde Rodriguesanch'essi allievi di Monge.

La superficie della fig. Entrambe le circonferenze passanti per il punto interno P v. Nel caso del toro della fig. Le superfici sviluppabili di Monge sono caratterizzate dall'annullarsi di K : ne sono esempi particolari il cono, il cilindro e altre superfici isometriche a regioni del piano. Studio della curvatura gaussiana Presentiamo ora una dimostrazione in termini moderni del theorema egregium di Gauss allo scopo di illustrare alcune tecniche peculiari della geometria differenziale.

I vettori tangenti alle curve ottenute ponendo u 2 e u 1 costanti sono dati da: Formula e i prodotti scalari Formula individuano le lunghezze di v 1 e di v 2 e l'angolo tra di essi. Sia v 3 il campo vettoriale unitario normale alla superficie; allora i tre campi vettoriali v 1v 2v 3 costituiscono un sistema di riferimento in ogni punto v. Il theorema egregium segue da due formule famose che possono essere verificate facilmente.

Anche la teoria delle geodetiche mette in risalto la differenza tra locale e globale. Si osservi che il primo membro della 10 non cambia quando viene variata la metrica 4 ; sul toro della fig. Esistono molte superfici a curvatura gaussiana costante negativa, che presentano quella che viene chiamata una geometria iperbolica. Si deve ad Eugenio Beltrami la dimostrazione rigorosa del fatto che questo tipo di geometria produca un sistema coerente in cui il postulato delle parallele di Euclide non vale.

Dati due tali sistemi, u 1 ,Le passioni, a lungo condannate come fattori di turbamento, oggi si puntano a controllare dal punto di vista dell'individuo, mentre si mirano a forgiare come strumenti di dominio politico, dal punto di vista sociale. L'opposizione tra ragione e passione fa parte di una costellazione di senso culturalmente condizionata. In questo libro sono presentati tutti gli argomenti riguardanti la geometria: geometria piana euclidea geometria solida euclidea geometria analitica nel piano geometria proiettiva geometria analitica nello spazio geometrie non euclidee geometria combinatoria geometria discreta geometria frattale geometria differenziale.

La prima parte di questo testo contiene richiami, sintetici ma rigorosi, delle nozioni fondamentali di geometria proiettiva, in un linguaggio semplice e moderno. La struttura del testo consente al lettore di utilizzare la risoluzione degli esercizi per impadronirsi delle nozioni e delle tecniche di base e per progredire nella conoscenza della materia fino allo studio di alcuni Il testo confronta con la usuale geometria del piano euclidea vari tipi di geometrie che si hanno su superfici note e meno note: geometria sulla sfera, sul cilindro, sul cono e sulla pseudosfera.

Cerca negli ebook:. Numero totale di libri trovati 40 per la tua ricerca. Scarica gli ebook e divertiti! Ultimi ebook e autori ricercati l ora di lezione ricette la cattedrale sommersa la palude dei fuochi erranti economia internazionale.Ritorna alla pagina di presentazione. Lorenzo Roi novembre Il testo, suddiviso in tre parti, discute nella prima questa pagina la rappresentazione parametrica della retta generalizzandola quindi ad una curva qualsiasi.

Introduce quindi il vettore tangente per giungere infine a definire il versore tangente come una caratteristica locale di una opportuna classe di curve. Nella seconda parte si chiarisce sulla base di esempi il concetto intuitivo di curvatura mentre nella terza lo si formalizza assieme alla definizione di centro di curvatura. Infine si esemplificano questi concetti applicandoli ad alcune curve.

Iniziamo con l'ottenere la rappresentazione parametrica di una retta che, evidentemente, possiamo ritenere la "curva" piu semplice.

Geometria differenziale

Siano quindi e due punti del piano cartesiano distinti. Per essi passa una sola retta r e inoltre definiscono il vettore. Abbiamo in tal modo ottenuto la rappresentazione parametrica della retta passante per i due punti dati fig.

Quest'ultima mostra una dipendenza lineare delle coordinate del punto P dal parametro reale t i cui coefficienti forniscono le componenti del vettore AB mentre i termini noti sono le coordinate di uno dei due punti nell'esempio, di A.

Viceversa, partendo dalla coppia di equazioni lineari. Dato il vettore in termini delle componenti cartesiane, vogliamo associare ad esso un vettore perpendicolare.

Pertanto posto la condizione. Nella sezione precedente abbiamo visto come le coordinate di un punto generico su una retta si possano rappresentare tramite due funzioni dipendenti linearmente da un parametro. Possiamo pure pensare e le animazioni proposte confortano tale idea la retta come un particolare luogo che viene percorso da un punto che si muove nel piano ossia, con termini mutuati dalla Fisica, come una particolare traiettoria seguita da un punto in moto.

In tal caso il parametro rappresenterebbe la grandezza fisica tempo.

GEOMETRIA 2

Queste note costituiscono, in sostanza, la cosiddetta rappresentazione parametrica di una curva. Quale esempio, nella figura 5 viene rappresentata la curva espressa dalla coppia di funzioni e il vettore che identifica un suo punto generico variabile nell'animazione associata alla figura.

In questa sezione vedremo come sia possibile assegnare a ogni punto di una opportuna curva espressa in forma parametrica il vettore tangente. Possiamo ora associare a questi due punti il vettore avente per componenti. Le animazioni seguenti figg. In entrambe le figure 6 e 7 precedenti appare evidente come il vettore tangente vari da punto a punto sia in direzione che nel suo modulo.

Se consideriamo la curva in questione come la traiettoria di un punto in moto potremo dire che il vettore tangente dipende quindi dal verso di percorrenza del punto sulla curva. L'ultima immagine fig. Se poi sostituiamo al versore tangente il versore normale. Versore tangente In entrambe le figure 6 e 7 precedenti appare evidente come il vettore tangente vari da punto a punto sia in direzione che nel suo modulo.Recensisci per primo questo prodotto.

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